Resolvido: 14.9-1E A figura abaixo mostra o gráfico | PasseiDireto.com
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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton IBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

A figura abaixo mostra o gráfico da reta x + y = 4 e as curvas de nível de altura c = 2, 4, 6 e 8 para a função ƒ(x, y) = xy.

(a) Use a figura para encontrar o valor máximo da função ƒ(x, y) = xy sujeita à restrição x + y = 4 e explique seu raciocínio.


(b) Como podemos dizer a partir da figura que a resposta em (a) não é o valor mínimo de ƒ sujeita à restrição?


(c) Use multiplicadores de Lagrange para verificar seu trabalho.

Passo 1 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O objetivo deste exercício é encontrar os valores máximos e mínimos da função sujeito a restrição.

Passo 2 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Lembrando que:

- O ponto crítico, , é calculado por e .

- No Método dos Multiplicadores de Lagrange, ao invés de usarmos a relação dada para f(x,y), adotamos o seguinte procedimento:

Escreve-se a relação dada sobre x e y na forma de uma função de ø(x,y) e introduz-se um parâmetro arbitrário λ, dito o multiplicador de Lagrange, e considera-se as equações:

Assim o resultado dessas equações determina os candidatos a extremos de f.

Passo 3 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a) Para encontrarmos os pontos críticos calculamos a primeira derivada da função f:

Então,

Igualando as derivadas a zero temos o seguinte sistema:

Então o ponto crítico é (0,0).

Passo 4 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A região R é definida por (0,0), , .

Imagem 1

- Segmento de reta entre (0,0) e

Temos que y = 0 logo f(x, y) simplifica para uma função da única variável x,

onde .

Derivando a função u(x),

Para achar o ponto crítico igualamos a derivada a zero,

Então os valores extremos correspondem aos pontos (0,0) e de R, ocorrem nos pontos extremos x = 0 e x = 4.

- Segmento de reta entre (0,0) e

Temos que x = 0 logo f(x,y) simplifica para uma função da única variável y,

onde .

Passo 5 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Derivando a função u(y),

Passo 6 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 7 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então os valores extremos correspondem aos pontos (0,0) e de R, ocorrem nos pontos extremos y = 0 e y = 4.

- Segmento de reta entre , .

Temos que,

Logo f(x,y) simplifica para uma função da única variável x,

onde .

Derivando a função u(x),

Para achar o ponto crítico igualamos a derivada a zero,

Substituindo em y,

Então os valores extremos correspondem aos pontos e de R, e o ponto crítico é .

Construindo uma tabela com os pontos críticos no interior e nos pontos de fronteira nos quais podem ter extremos absolutos, e a função, , aplicada a esses pontos temos,

(x,y)

(2,2)

f(x,y)

0

0

4

Portanto,

Máximo Absoluto é 4.

Passo 8 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b) Não é um valor mínimo, pois f (2,2) é o maior valor de f na curva de restrição.

Passo 9 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c) Temos que a função está sujeita a restrição .

Para encontrar os valores de x e y, usaremos os Multiplicadores de Lagrange, onde

Aplicando os multiplicadores de Lagrange temos,

Resolvendo o sistema acima,

Passo 10 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo na última equação,

Então,

Assim, o ponto crítico é (2,2).

Calculando f(x,y) no ponto crítico, temos que o máximo da função será:

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