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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton IBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Mostre que

é um modelo para o campo de velocidades de um fluxo vórtice anti-horário em torno da origem de potência k, confirmando que

(a) F1(x, y) possui as quatro propriedades necessárias de um fluxo vórtice anti-horário em torno da origem;


(b) k é 2π vezes a velocidade do fluido ao longo do círculo unitário.

Passo 1 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício, mostraremos que a função vetorial:

É um modelo para o campo de velocidades de um fluxo de vórtice anti-horário em torno da origem de potência k. Para isso, mostraremos que a função possui as quarto propriedades necessárias de um fluxo de vórtice anti-horário em torno da origem e, depois, mostraremos que o valor de k é vezes o valor da velocidade do fluido ao longo do círculo unitário.

Passo 2 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

Fazendo com que , temos que:

O que nos indica que a velocidade do fluido é tangente ao círculo em vez de ser perpendicular.

Passo 3 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Fazendo o produto vetorial, temos que:

O que nos indica que o fluido está em rotação no sentido anti-horário.

Passo 4 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Colocando a função em coordenadas polares, temos que:

O que nos indica que a velocidade é a constante e que a velocidade do fluido é proporcional ao .

Passo 5 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Fazendo o modulo da função em coordenadas polares, temos que:

, fazendo r = 1 temos que

O que mostra que a constante é igual a vezes o valor da velocidade do fluido ao longo do círculo unitário.

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