53
Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton IBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Calcule a integral de linha usando o Teorema de Green e verifique a resposta calculando-a diretamente.

 onde C é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1) orientado no sentido anti-horário.

Passo 1 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Chegou a hora de aplicarmos o conteúdo da seção 16.4, que trata do Teorema de Green. Este teorema possui inúmeras aplicações em que é necessário expressar uma integral dupla numa região plana em termos de uma integral de linha ao longo de sua fronteira.

Vamos lá!

Passo 2 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Precisamos sempre lembrar que o Teorema de Green pode ser aplicado a uma região plana e conexa, que possui uma fronteira definida por uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f(x,y) e g(x,y) forem contínuas e se suas derivadas parciais de primeira ordem estiverem contidas num conjunto aberto da região em questão, o Teorema de Green afirma que

.

Para este exercício precisamos calcular a integral de linha através do método tradicional e do teorema de Green, com o objetivo final de encontrarmos o mesmo resultado para ambos os casos.

Passo 3 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Pelo teorema de Green temos:

Calculando da maneira tradicional temos:

Passo 4 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Podemos concluir, então, que por ambos os métodos, o valor da integral foi igual a ZERO.

Aprenda agora com os exercícios mais difíceis

R$29,90/mês

Assine o PremiumCancele quando quiser, sem multa

Aproveite também

  • check Todos os materiais compartilhados
  • check Biblioteca com 5.000 livros, escolha 5 por mês
  • check Videoaulas exclusivas
  • check Resumos por tópicos