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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton IBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Esboce o campo de direções para y′ = xy/4 nos 25 pontos de malha (x, y), dados por x = −2, −1, ... , 2 e y = −2, −1, ... , 2.

Passo 1 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na seção 9.2 deste livro foram reexaminados os conceitos de campos de direções (Método de Euler) e discutido um método para aproximação numérica de soluções de equações de primeira ordem. O objetivo deste exercício é esboçar o campo de direções para a equação proposta nos pontos de malha dados. Vamos lá!

Passo 2 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para a equação dada:

Analisando a derivada y’, observamos que a direção da inclinação das retas tangentes às curvas integrais nos pontos de malha é positiva para positivos e ambos negativos, nula para , ou somente x, ou somente y nulos, e é negativa quando um dos valores x, ou y, é negativo.

Em que os intervalos para valores de e são dados pelo exercício:

Passo 3 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, devemos considerar uma malha de 25 pontos para esta função, onde deve-se colocar a inclinação da reta tangente para a função dada. Devemos observar pelo explicado anteriormente que nos quadrantes onde x e y são ambos positivos ou ambos negativos, ou seja, no primeiro e no terceiro quadrante, retas tangentes positivas, pois a derivada é positiva. Já no segundo e quarto quadrante, temos que ou x ou y é negativo, logo a função y’ resulta em valores, ou seja, o campo de direções aponta para baixo. Observamos ainda que conforme o campo se aproxima dos eixos, onde ou x, ou y ou ambos são nulos, a derivada y’ deverá ser nula, resultando em retas horizontais.

Faremos agora uma tabela com os pontos para a função para a malha pedida:

y=-2

y=-1

y=0

y=1

y=2

x=-2

1

0,5

0

-0,5

-1

x=-1

0,5

0,25

0

-0,25

-0,5

x=0

0

0

0

0

0

x=1

-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

x=2

-1

-0,5

0

0,5

1

Passo 4 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Por fim, usando o software Powerpoint para esboçar os vetores com os valores calculados, obtemos o seguinte campo de direções:

Imagem 1

Figura 1: Campo de direções.

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