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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard AntonIBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Confira que as seguintes funções são soluções da equação diferencial y″ + y′ − 2y = 0 substituindo-as na equação.

(a) e−2x e ex

(b) c1e−2x + c2ex (c1, c2 constantes)

Passo 1 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolvermos as questões (a) e (b) do exercício é necessário que identifiquemos corretamente os termos da equação diferencial de segunda ordem homogênea, lembrando que ela é composta, pelo menos, por um termo contendo a derivada de segunda ordem da função. A equação (1) é uma das formas de expressarmos uma equação diferencial de segunda ordem homogênea. A identificação correta dos termos irá nos auxiliar a fazer as substituições necessárias para a resolução do exercício.

Passo 2 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

De maneira geral, em exercícios onde precisamos verificar se uma função é solução de uma equação diferencial de segunda ordem é necessário, em primeiro lugar precisamos calcular as derivadas primeira e segunda da função. Em seguida, substituímos as derivadas na equação fornecida pelo exercício e verificamos se a igualdade permanece.

Passo 3 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A questão (a) do exercício nos questiona se as funções e são soluções da equação diferencial:

Nosso primeiro passo será o de calcular as derivadas primeira e segunda da função e em seguida, substituí-las na equação (2) para verificar se a igualdade permanece válida. O mesmo procedimento será realizado para a função.

Passo 4 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Ao calcularmos as derivadas primeira e segunda da função obtemos:

Passo 5 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo em (2) e verificando a igualdade temos:

Passo 6 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 7 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como pudemos verificar, a igualdade é verificada, portanto, é solução da equação diferencial.

Passo 8 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos agora repetir os passos para a função . Ao calcularmos as derivadas primeira e segunda da função obtemos:

Passo 9 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo em (2) e verificando a igualdade temos:

Passo 10 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 11 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como pudemos verificar, a igualdade é verificada, portanto, é solução da equação diferencial.

Passo 12 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Conforme verificamos, as funções e são soluções da equação diferencial .

Passo 13 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A questão (b) do exercício questiona se a função é também solução de (2).

Nosso primeiro passo será o de calcular as derivadas primeira e segunda da função e em seguida, substituí-las na equação (2) para verificar se a igualdade permanece válida.

Passo 14 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Ao calcularmos as derivadas primeira e segunda da função obtemos:

Passo 15 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo em (2) e verificando a igualdade temos:

Passo 16 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 17 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como pudemos verificar, a igualdade é verificada, portanto, é solução da equação diferencial.

Passo 18 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Conforme verificamos, a função é solução da equação diferencial.

Exercícios resolvidos no Capítulo 9.4

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.