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Cálculo Vol. 1 - 12ª Ed. 2012

Exercícios resolvidos: Cálculo Vol. 1 - 12ª Ed. 2012

Joel Hass, Maurice D Weir, George B Thomas IBSN: 9788581430867

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Uma equação como sen2 θ + cos2 θ = 1 é chamada de identidade, porque vale para qualquer valor de θ. Uma equação como sen θ = 0,5 não é uma identidade, porque vale somente para valores selecionados de θ, e não para todos. Se você derivar os dois membros de uma identidade trigonométrica em θ com relação a θ, terá como resultado uma nova equação que também será uma identidade.

Derive as equações a seguir para mostrar que a equação resultante vale para qualquer valor de θ.

a. sen 2θ = 2 sen θ cos θ


b. cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ

Passo 1 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Conside a equação a seguir:

……(1)

Vamos derivar a dada equação para mostrar que a equação resultante vale para todo valor de .

Passo 2 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Retomando a Regra do Produto:

Passo 3 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Derivando a equação (1) em relação a , obtemos a equação:

Passo 4 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a equação é uma identidade para todos os valores de .

Passo 5 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Considere a equação a seguir:

……(3)

Vamos derivá-la para mostrar que a equação resultante vale para todo valor de .

Passo 6 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Relembrando a Regra da Potência:

Passo 7 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos derivar a equação (3) em :

Passo 8 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a equação é uma identidade para todos os valores de .