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Cálculo Vol. 1 - 12ª Ed. 2012

Exercícios resolvidos: Cálculo Vol. 1 - 12ª Ed. 2012

Joel Hass, Maurice D Weir, George B ThomasIBSN: 9788581430867

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Nos Exercício:

a. Determine f−1(x).


b. Esboce em um único gráfico f e f−1.


c. Calcule df/dx em x = a e df−1/dx em x = f(a) para mostrar que nesses pontos df−1/dx = 1/(df/dx).

f(x) = 2x + 3, a =  −1

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dada a função , (A) calcular a inversa ; (B) esboçar em um único gráfico as curvas e ; (C) calcular em e em com , para mostrar que .

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(A)

Calculando a função inversa de f(x), temos

E substituindo f(x) por x, temos que a função inversa é

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(B)

As equações de f(x) e de sua inversa representam duas equações de reta e, portanto, seus gráficos são dados pela figura a seguir, onde a curva azul representa f(x) e a curva vermelha representa sua inversa

Imagem 1

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(C)

Calculando a derivada de f(x), temos

E em , temos .

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Calculando agora a derivada da inversa de f(x), temos

E em , temos .

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Os resultados das duas derivadas comprovam que , pois

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