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Cálculo Vol. 1 - 12ª Ed. 2012

Exercícios resolvidos: Cálculo Vol. 1 - 12ª Ed. 2012

Joel Hass, Maurice D Weir, George B Thomas IBSN: 9788581430867

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Derivada dt/dx no Exemplo 4

a. Demonstre que

é uma função crescente de x.


b. Demonstre que

é uma função decrescente de x.


c. Demonstre que

é uma função crescente de x.

EXEMPLO 4 A velocidade da luz depende do meio que a luz atravessa, tendendo a ser menor em meios mais densos.

O princípio de Fermat no campo da óptica afirma que a luz sempre se propaga de um ponto para outro por um trajeto que minimiza o tempo de propagação. Determine o caminho que um raio de luz seguirá saindo do ponto A em um meio em que a velocidade da luz é c1, para um ponto B, em outro meio em que a velocidade da luz é c2.

Solução Como a luz, indo de A para B, segue o percurso mais rápido, então buscaremos aquela que minimiza o tempo de percurso. Admitamos que A e B estejam no plano cartesiano e que a reta que separa os dois meios seja o eixo x (Figura 4.40).

Em um meio uniforme, onde a velocidade da luz permanece constante, o “menor tempo” significa a “menor distância”, e, portanto, o raio de luz seguirá uma linha reta. Assim, o caminho de A a B consistirá em um segmento de reta desde A até o ponto P na fronteira, seguido por outro segmento desde P até B. Como a distância é igual à taxa vezes o

Passo 1 de 3

(a)

Consideremos a função dada:

Derivamos a função acima para encontrar pontos críticos:

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