46
Cálculo Vol. 1 - 12ª Ed. 2012

Exercícios resolvidos: Cálculo Vol. 1 - 12ª Ed. 2012

Joel Hass, Maurice D Weir, George B Thomas IBSN: 9788581430867

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Desigualdade satisfeita pelas médias geométrica, logarítmica e aritmética

a. Demonstre que o gráfico de ex é côncavo para cima em qualquer intervalo de valores de x.


b. Demonstre, em relação à figura a seguir, que, se 0 < a < b, então


c. Use a desigualdade do item (b) para concluir que

Essa desigualdade diz que a média geométrica de dois números positivos é menor que a média logarítmica de ambos, que, por sua vez, é menor do que sua média aritmética.

(Para saber mais sobre essa desigualdade, consulte BURK, Frank. The geometric, logarithmic, and arithmetic mean inequality. American Mathematical Monthly, v. 94, n. 6, jun./jul. 1987. p. 527-528.)

Passo 1 de 3

a.

Consideremos . Realizamos então o teste da derivada segunda:

Para todo , logo o gráfico de

Para todo . Logo o gráfico de sempre é côncavo para cima.

lock Ver solução completa

Aprenda agora com os exercícios mais difíceis

R$29,90/mês

Assine o PremiumCancele quando quiser, sem multa

Aproveite também

  • check Todos os materiais compartilhados
  • check Biblioteca com 5.000 livros, escolha 5 por mês
  • check Videoaulas exclusivas
  • check Resumos por tópicos