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Cálculo Vol. 1 - 12ª Ed. 2012

Exercícios resolvidos: Cálculo Vol. 1 - 12ª Ed. 2012

Joel Hass, Maurice D Weir, George B Thomas IBSN: 9788581430867

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

As respostas da maioria dos exercícios a seguir são dadas em termos de logaritmos e exponenciais. A calculadora pode ser útil, permitindo-lhe expressar as respostas na forma decimal.

Incidência de uma doença (Continuação do Exemplo 3.) Suponha que em determinado ano o número de casos de uma doença seja reduzido em 25% em vez de 20%.

a. Quanto tempo levará para reduzir o número de casos a 1000?


b. Quanto tempo levará para erradicar a doença, isto é, reduzir o número de casos para menos de 1?

EXEMPLO 3

Um modelo para a maneira como uma doença desaparece quando tratada adequadamente assume que a taxa dy/dt, a qual o número de pessoas infectadas varia, é proporcional ao número y. O número de pessoas curadas é proporcional ao número y de indivíduos infectados pela doença. Suponha que, no curso de um ano qualquer, o número de casos de uma doença seja reduzido em 20%. Se existem hoje 10.000 casos, quantos anos serão necessários para que esse número seja reduzido a 1000?

Solução Usaremos a equação . Temos de determinar três itens: o valor de y0, o valor de k e o instante t em que y = 1000.

O valor de y0. Temos a liberdade de contar o tempo a partir de onde quisermos. Se contarmos a partir de hoje, então y = 10.000 quando t = 0, logo y0 = 10.000. Assim, nossa equação é

O valor de k. Quando t = 1 ano, o número de casos será 80% de seu valor presente, ou 8000. Assim,

Em qualquer instante t determinado,

Passo 1 de 3

(a)

Escrevendo a equação exponencial, temos que:

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