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Cálculo Vol. 1 - 12ª Ed. 2012

Exercícios resolvidos: Cálculo Vol. 1 - 12ª Ed. 2012

Joel Hass, Maurice D Weir, George B Thomas IBSN: 9788581430867

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Assumindo que a desigualdade triangular |a + b| ≤ |a| + |b| seja válida para quaisquer dois números a e b, mostre que

para quaisquer n números.

Passo 1 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos utilizar o princípio da indução finita para provar a seguinte desigualdade:

Passo 2 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para dois termos, da desigualdade triangular, sabemos ser verdade que:

Passo 3 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos supor agora que para , na recorrência abaixo, também é verdade:

Passo 4 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Somaremos de ambos os lados o termo :

Logo, a desigualdade é válida para o caso de k+1 termos.

Passo 5 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, teremos que a desigualdade é válida para todo n natural, como queríamos demonstrar.

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