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Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

James StewartIBSN: 9788522112586

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Use o gráfico dado de f para encontrar um número δ tal que

se | x − 1 | < δ então | f(x) – 1 | < 0, 2

Passo 1 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Use o gráfico dado de f para encontrar um número δ tal que se |x – 1| < δ, então, |f(x) – 1| < 0,2.

Imagem 1

Passo 2 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos que encontrar em número δ de tal modo que |x – 1| < δ, quando |f(x) – 1| < 0,2.

Partindo da informação:

|f(x) – 1| < 0,2

Como se trata de módulo de f(x) – 1, esse valor pode ser qualquer um entre, desde que seja maior que -0,2 e menor que 0,2. Isso porque |x| < ε - ε < x < + ε.

Então,

-0,2 < f(x) – 1 < +0,2

Passo 3 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Some 1 em ambos os lados:

+1 - 0,2 < f(x) – 1 +1 < + 0,2 + 1

Simplifique os termos:

0,8 < f(x) < 1,2

Passo 4 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observe os pares ordenados destacados em vermelho, tem-se as seguintes informações:

f(1,1) = 0,8

f(0,7) = 1,2

Passo 5 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Compare estes dados com o intervalo no qual pode ser encontrado o valor de f(x), percebe-se que:

f(1,1) < f(x)

f(0,7) < f(x)

Reorganizando as informações:

f(1,1) < f(x)< f(0,7)

Passo 6 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substitua os valores de f(1,1), f(x)e f(0,7):

0,7 < x < 1,1

Como se deseja encontrar |x-1|, subtraia 1 em ambos os lados :

0,7 - 1 < x - 1 < 1,1 – 1

Simplifique os termos:

– 0,3 < x - 1 < 0,1

Passo 7 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O valor de ε deve ser o mesmo em ambos os lados da inequação. Por conta disso, utiliza-se o menos dos valores para garantir que o valor esperado de x – 1 esteja dentro do intervalo. Com isso, reorganiza-se da seguinte forma:

– 0,1 < x - 1 < 0,1

Passo 8 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Use a propriedade |x| < ε - ε < x < + ε e coloque na forma de módulo:

| x – 1| < 0,1

Passo 9 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, o número δ procurado que satisfaz |x – 1| < δ é 0,1 ou qualquer outro número positivo menor que ele.

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.