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Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013
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Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

James StewartIBSN: 9788522112586

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Uma partícula move-se segundo a lei do movimento s = f(t), t ≥  0, em que t é medido em segundos e s, em metros.

(a) Encontre a velocidade no tempo t.


(b) Qual a velocidade depois de 3 s?


(c) Quando a partícula está em repouso?


(d) Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?


(e) Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos.


(f) Desenhe um diagrama como na Figura 2 para ilustrar o movimento da partícula.


(g) Encontre a aceleração no tempo t e depois de 3 s.


(h) Faça os gráficos das funções posição, velocidade e aceleração para 0 ≤ t ≤ 8.


(i) Quando a partícula está acelerando? Quando está freando?

f(t) = t3 − 12t2 + 36t

FIGURA 2

Passo 1 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Considere a função . Esta função modela o movimiento da particula.

Passo 2 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Para encontrar a velocidade de em qualquer instante t, derivamos em relação à t

Logo, a velocidade da partícula é dada por

Passo 3 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Para encontrar a velocidade da partícula no instante t = 3s, devemos utilizar o resultado

do item (a)

Passo 4 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Para encontrarmos o ponto de repouso, devemos novamente utilizar o resultado do ítem

(a)

Fazendo v(t) = 0

A partícula estará em repouso nos instantes de tempo t = 2s e t = 6s

Passo 5 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Precisamos encontrar o intervalo de tempo em que a partícula se move no sentido

positivo. Para isto, faremos v(t) > 0

Para que o produto seja positivo, temos duas condições:

Além disto, obviamente, consideramos t começando em 0s

Quando t < 2, ambos os termos serão negativos, e o resultado positivo

Quando t > 6, ambos os termos serão positivos, e o resultado positivo

Quando 2 < t < 6, o primeiro termo é positivo, mas o segundo é negativo, e o resultado, consequentemente, negativo

Portanto, o intervalo em que a partícula se move no sentido positivo é dado por

Passo 6 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(e)

Para encontrar a distância total percorrida durante os primeiros 8s, devemos analisar os

intervalos t = 0,2s ; t = 2, 6s ; t = 6,8s individualmente, visto que o sentido do movimento

da partícula muda, o que nos impede de analisar o intervalo t = 0,8s diretamente.

Para

Para

Para

E a distância total será a soma das distâncias nos intervalos

Passo 7 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(f)

Ilustrando o movimento da partícula

Picture 1

Passo 8 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(g)

A aceleração é a derivada da função velocidade no tempo, ou seja

Utilizando v(t) calculado nos itens anteriores

E substituindo t = 3s

O sinal negativo mostra que o movimento é retardado durante o 3º segundo.

Passo 9 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(h)

Para esboçar os gráficos da posição, velocidade e aceleração, utilizaremos uma

calculadora gráfica

Para entrar com as funções na calculadora, pressione e digite as funções

Picture 2

Passo 10 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, marcamos os intervalos conforme a figura abaixo

Picture 3

Passo 11 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E pressionamos o botão para obtermos os gráficos

Picture 4

Passo 12 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(i)

Para encontrarmos quando a partícula está acelerando e freando, devemos verificar os

sinais das funções velocidade e aceleração. A partícula estará acelerando quando os sinais

forem iguais e freando quando forem diferentes.

Do gráfico gerado no item anterior, podemos observar que velocidade e aceleração têm

mesmo sinal nos intervalos e e sinais opostos nos intervalos e

.

Passo 13 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Concluímos então que a partícula está acelerando em e freando em

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.