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Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

James StewartIBSN: 9788522112586

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

(a) Encontre a aproximação linear de  próximo a 3.


(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico de f e da aproximação linear.


(c) Para quais valores de x a aproximação linear tem precisão de 0,1 ?

Passo 1 de 3

719295-3.RE-102E AID: 110 | 11/03/2016

Para resolver este problema, vamos colocar em prática nosso conhecimento sobre regras de derivação, em que usaremos principalmente os resultados do capítulo 3 ao longo de nossa resolução. Vamos lá?

(a)

Considere a função

Queremos encontrar a aproximação linear da função no ponto . Para isso usaremos a fórmula da aproximação linnear dada por:

Para a função em questão, temos que a derivada é:

Como o valor da função e da derivada no ponto é

Aplicando a fórmula tda aproximação emos:

Portanto, a aproximação linear é

(b)

Vamos considerar o gráfico de f em vermelho, e sua aproximação, o azul. Usando o comando abaixo no maple temos:

plot({(-3*x)*(1/4)+25/4, sqrt(25-x^2)}, x = 0 .. 5, color = ["red", "Blue"]);

(c)

Ao calcularmos a diferença entre a função e sua aproximação linear, esta será menor que 0,1 se:

Calculando o quadrado de ambos os lados da inequação, trocamos o sinal de desigualdade, já que os termos deixam de ser negativos e passam a ser positivos:

Agrupando todos os termos de um lado, encontramos

Para resolver esta inequação, procuramos as raízes da equação de segundo grau:

Pela fórmula de Báskara temos que as raízes são:

e .

Como a párabola dada pela equação do segundo grau é concava para cima, temos que os valores entre as raízes são negativos, ou seja, são aqueles que satisfazem a inequação.

Portanto, aproximação te

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