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Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

James Stewart IBSN: 9788522112586

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Suponhamos que o espelho parabólico do Problema 20 tenha sido substituído por um esférico. Embora o espelho não tenha foco, podemos mostrar a existência de um foco aproximado. Na figura, C é um semicírculo com o centro O. O raio de luz vindo na direção do espelho, paralelo ao eixo, ao longo da reta PQ será refletido para o ponto R sobre o eixo, de modo que ∠PQO = ∠OQR (o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão). O que acontecerá ao ponto R â medida que P ficar cada vez mais próximo do eixo?

Problema 20

Seja P(x1, y1) um ponto sobre a parábola y2 = 4px com foco F(p, 0). Seja α o ângulo entre a parábola e o segmento de reta FP e seja β ângulo entre a reta horizontal y = y1 e a parábola, como na figura. Demonstre que α = β. (Logo, por um princípio da óptica geométrica, a luz de uma fonte colocada em F será refletida ao longo de uma reta paralela ao eixo x. Isso explica por que os paraboloides, superfícies obtidas por rotações de parábolas sobre seus eixos, são usados como forma de alguns faróis de automóveis e espelhos para os telescópios.)

Passo 1 de 3

Sabemos que e que o triângulo é isósceles, então .

Pela Lei dos Cossenos, , logo:

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