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Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

James Stewart IBSN: 9788522112586

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Seja f(x) = a1 sen x + a2 sen 2x + ⋯ + an sen nx, onde a1, a2, ... , an são números reais e n é um inteiro positivo. Se for dado que |f(x)| ≤ |sen x| para todo x, mostre que

|a1 + 2a2 + ⋯ + nan| ≤ 1

Passo 1 de 3

Note que

e que, para todo suficientemente pequeno, temos

.

(Aqui, significa que fizemos uso da hipótese.)

Olhemos agora para a definição de:

(Aqui, e significam que fizemos uso, respectivamente, da monoticidade do limite e do limite fundamental .)

Ora,

.

Em suma, acabamos de estabelecer que

,

como queríamos.

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