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Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

James Stewart IBSN: 9788522112586

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

As velocidades do som c1 em uma camada superior e c2 em uma camada inferior de rocha e a espessura h da camada superior podem ser determinadas pela exploração sísmica se a velocidade do som na camada inferior for maior que a velocidade do som na camada superior. Uma carga de dinamite é detonada em um ponto P e os sinais transmitidos são registrados em um ponto Q, o qual está a uma distância D de P. O primeiro sinal a chegar a Q viaja ao longo da superfície e leva T1 segundos. O próximo sinal viaja do ponto P ao ponto R, do ponto R para o ponto S na camada inferior e daí para o ponto Q e leva T2 segundos para fazer este percurso todo. O terceiro sinal é refletido na camada inferior no ponto médio O de RS e leva T3 segundos para chegar em Q.

Mostre que T2 assume o seu valor mínimo em sen θ = c1/c2.

Observação: Os geofísicos usam essa técnica para estudar a estrutura da crosta terrestre, quando fazem prospecção de petróleo ou examinam falhas na estrutura do terreno.

Passo 1 de 3

Já estabelecemos no item (a) que

.

Busquemos pontos críticos. Temos:

Assim,

Segue do Teste da Primeira Derivada que é precisamente aí que o mínimo é atingido.

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