249
Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

James Stewart IBSN: 9788522112586

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Dada uma esfera de raio r, encontre a altura da pirâmide de menor volume cuja base é quadrada e cuja base e faces triangulares são todas tangentes à esfera. E se a base da pirâmide fosse um polígono com n lados e ângulos iguais? Use o fato que o volume da pirâmide é  onde A é a área na sua base.)

Passo 1 de 3

Seja uma pirâmide de base quadrada e vértice contém a esfera de centro e raio e tal que a base e todas as faces triangulares são tangentes à esfera. Sejam , respectivamente, os pontos médios dos lados . Denotemos por a medida do lado do quadrado e por a altura da pirâmide.

Imagem 1

Seccionamos a pirâmide segundo um plano ortogonal ao plano de e contendo os pontos . Obtemos assim um triângulo, conforme ilustrado na segunda figura abaixo:

Imagem 7

Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que:

,

onde é a medida do lado do triângulo (isósceles) .

Seja o ponto médio do segmento .

lock Ver solução completa