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Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

James Stewart IBSN: 9788522112586

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Uma bolha hemisférica é colocada sobre uma bolha esférica de raio 1. Uma bolha hemisférica menor é então colocada sobre a primeira bolha. O processo continua até que sejam formados n compartimentos, incluindo a esfera. (A figura mostra o caso para n = 4.) Use a indução matemática para demonstrar que a altura máxima de qualquer torre de bolhas com n compartimentos é dada pela expressão

Passo 1 de 3

Faremos os cálculos supondo que todas os compartimentos, incluindo o primeiro, tem o formato de hemisférios. É claro que, fazendo isso, ao final basta somarmos 1 para obter a resposta da questão original. Mais geralmente, denotemos por a altura máxima de uma torre com bolhas hemisféricas, sendo o raio da bolha da base (primeira bolha). Então, uma vez que é simplesmente um “fator de escala”. Por indução, provaremos que . Essa identidade, obviamente, se verifica para , quando temos . Suponhamos agora que para algum (hipótese de indução). Então a altura máxima de uma torre com compartimentos, chamando de o raio da segunda bolha (a primeira colocada sobre a bolha hemisférica da base), é

.

Esta é a função que precisamos maximizar para . A condição de primeira ordem para máximos é :

.

Logo,

Isso completa a prova indutiva.

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