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Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

James Stewart IBSN: 9788522112586

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Encontre o ponto sobre a parábola y = 1 − x2 no qual a reta tangente corta do primeiro quadrante o triângulo com a menor área.

Passo 1 de 3

Seja

o ponto procurado. A declividade da reta tangente à parábola neste ponto é dada pelo valor da derivada avaliada neste ponto, i.e.

A equação da reta tangente é, então, dada por

Esta reta encontra os eixos e , respectivamente, nos pontos

,

que serão respectivamente a medida da base e a altura do triângulo cuja área precisamos minimizar. Assim,

.

Os pontos críticos são as soluções de :

.

(Note que, por simplicidade, substituímos por .) Esta última equação pode ser resolvida através da seguinte substituição: . Fazendo as contas na variável (que nos conduzirá a uma equação do segundo grau) e retornando à variável , obtemos:

,

e, assim, o ponto procurado é:

.

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