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Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

James Stewart IBSN: 9788522112586

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Esboce o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que |x + y| ≤ ex.

Passo 1 de 3

Queremos esboçar a região do plano formada pelos pares cujas coordenadas verificam a seguinte desigualdade:

.

Veja que esta desigualdade é equivalente a

Defina

Usaremos nossos conhecimentos de derivadas para esboçar os gráficos dessas duas funções.

Estudemos a função . A derivada de é dada por

Note que em toda a reta e, assim, não possui máximos ou mínimo locais e é decrescente. A segunda derivada de é

.

Esta função também é estritamente negativa em toda reta, donde o gráfico de tem concavidade voltada para baixo. Os pontos de interseção com o eixo são dados por

.

Contudo, não é tarefa simples resolver esta última equação. Podemos, com o auxílio do computador por exemplo, ver que esta equação admite uma raiz . A interseção com eixo ocorre no ponto .

Estudemos agora a função . Sua primeira derivada é

.

Vemos imediatamente que é o único ponto crítico. Além disso, é negativa (donde decrescente) em e positiva (donde crescente) em . A segunda derivada é

.

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