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Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 1 - 7ª Ed. 2013

James Stewart IBSN: 9788522112586

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Demonstre a fórmula (e) do Teorema 3 usando o seguinte método publicado por Abu Bekr Mohammed ibn Alhusain Alkarchi por volta do ano 1010. A figura mostra um quadrado ABCD cujos la dos AB e AD foram divididos em segmentos com comprimentos 1, 2, 3, …, n. Dessa forma, o lado do quadrado tem comprimento n(n + 1)/2, de modo que a área é [n(n + 1)/2]2. Porém a área também é a soma das áreas dos n “gnomons” G1, G2, ..., Gn mostrados na figura. Demonstre que a área de Gi é i3 e conclua que a fórmula (e) é verdadeira.

Teorema

Seja c uma constante e n um inteiro positivo. Então

(a)


(b)


(c)


(d)


(e)

Passo 1 de 3

Inicialmente, considerando um termo i genérico, podemos escrever a área de uma seção genérica Gi como a diferença entre a área do quadrado formado em i e a área do quadrado formado em i – 1, tal como:

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