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Cálculo - Vol. 2 - 12ª Edição

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 2 - 12ª Edição

Joel Hass, Maurice D WeirIBSN: 9788581430874

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Use o teste da integral para determinar se as séries convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.

Passo 1 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Com base nos conceitos vistos, utilizaremos o teste da integral para verificarmos a convergência ou divergência de uma série, observando se as condições para aplicação do teste são válidas.

A série será dada por:

Passo 2 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vimos no capítulo estudado que o termo geral é dado por

Desse modo, verificaremos se a série é composta de termos positivos e decrescentes como condição de aplicarmos o teste da integral. Dois pontos são essenciais nessa análise:

i) a série deve ser positiva, e como n está elevado ao quadrado e n varia de 1 a infinito, a condição é satisfeita;

ii) devemos verificar se a série é decrescente.

Passo 3 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para isso, vamos fazer uma mudança de variáveis do campo dos números inteiros para o campo dos reais. Assim, teremos .

<0 para todo e qualquer x, variando de 1 até infinito.

Passo 4 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para a aplicação do teste da integral, devemos ficar atentos: a série converge se converge.

Desse modo, teremos:

Passo 5 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dessa forma, entenda que, como a integral converge, segundo o Teste da Integral, a série é convergente.

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