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Cálculo - Vol. 2 - 12ª Edição

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 2 - 12ª Edição

Joel Hass, Maurice D Weir IBSN: 9788581430874

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções.

e-5x

Exemplo 4

Utilizando séries conhecidas, encontre os primeiros termos da série de Taylor para a função determinada, utilizando operações de séries de potências.

(a)


(b)

Solução

(a)


(b)

Pelo Teorema 20, podemos utilizar a série de Taylor da função f para encontrar a série de Taylor de f(u(x)) onde u(x) é qualquer função continua. A série de Taylor resultante dessa substituição irá convergir para todo x tal que u(x) fica dentro do intervalo de convergência da série de Taylor de f. Por exemplo, podemos utilizar a série de Taylor para eos 2x substituindo 2x por x na série de Taylor para eos x:

Teorema 20

Se  converge absolutamente para |x|< R

Passo 1 de 3keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício, iremos fazer a substituição para acharmos a série de Taylor em da função

Passo 2 de 3keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observe que a série de é:

Passo 3 de 3keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Usando para , temos como resposta para a questão: