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Cálculo - Vol. 2 - 12ª Edição
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Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 2 - 12ª Edição

Joel Hass, Maurice D WeirIBSN: 9788581430874

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Quais pares de coordenadas polares representam o mesmo ponto?

a. (3, 0)


b. (−3, 0)


c. (2, 2π/3)


d. (2, 7π/3)


e. (−3, π)


f. (2, π/3)


g. (−3, 2π)


h. (−2, −π/3)

Passo 1 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício, devemos correlacionar um ponto com uma coordenada polar equivalente, que é escrita em termos de , em que é a distância da origem e que é o ângulo formado o eixo x.

Passo 2 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Da figura 1 da seção 11.3 do livro texto, observamos que podemos ter uma série de ângulos equivalentes, uma vez que ele pode ser contabilizado tanto no sentido horário, como no sentido anti-horário.Assim como ele pode ser somado uma volta inteira angular, assim, somando ao ângulo , sendo n um número inteiro estaremos novamente sobre o mesmo ponto.

Passo 3 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Note que uma quantidade infinita de pontos pode representar o mesmo ponto . O exemplo 1 da seção 11.3 do livro texto mostra um exemplo com detalhes.

Passo 4 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Considerando todas as observações feitas acima, vemos que:

a. , comparando com , observamos que a opção e representa este ponto. O sinal negativo significa que ele foi contabilizado inversamente, ou seja, foi colocado o ângulo e colocadas -3 unidades inversamente ao ângulo, corresponde, assim, a opção e.

Passo 5 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b. , comparando com , observamos que a opção g representa este ponto. De maneira similar à opção a, o ponto foi contabilizado de maneira inversa, ou seja, girou-se o ângulo em e contabilizou 3 unidades para o raio r inversamente. O ponto final é o , assim, o ponto e são equivalentes.

Passo 6 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c. , comparando com , observamos que a opção h representa este ponto. Nesse caso, temos que ambos pontos estão descritos em coordenadas polares, entretanto, a opção h está contabilizada inversamente. O ângulo corresponde a 120º. O ângulo corresponde a 300º. Contabilizando -2, ou seja, colocando a distância a duas unidades do lado oposto à origem, temos o ponto . Assim, eles são pontos equivalentes.

Passo 7 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

d. , comparando com , observamos que a opção f representa este ponto. Nesse caso, apenas somou-se , ou seja, uma volta angular completa, o que fez voltar ao mesmo ponto. Assim, eles são equivalentes.

Exercícios resolvidos no Capítulo 11.3

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.