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Cálculo - Vol. 2 - 12ª Edição

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 2 - 12ª Edição

Joel Hass, Maurice D WeirIBSN: 9788581430874

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Uma partícula sem atrito P, partindo do repouso no instante t = 0 no ponto (a, 0, 0), desce pela hélice

r(θ) = (a cos θ)i + (a sen θ)j + bθk (a, b >0)

sob influência da gravidade, conforme a figura a seguir. O θ nessa equação é a coordenada cilíndrica θ e a hélice é a curva r = a, z = bθ, θ ≥ 0, em coordenadas cilíndricas. Assumimos θ como sendo uma função derivável de t para o movimento. A lei de conservação de energia nos diz que o módulo da velocidade da partícula depois de ter caído em linha reta a uma distância  em que g é a aceleração constante da gravidade.

a. Encontre a velocidade angular de /dt quando θ = 2π.


b. Expresse as coordenadas θ e z da partícula como funções de t.


c. Expresse os componentes normal e tangencial da velocidade dr/dt e aceleração d2r/dt2 como funções de t. A aceleração possui componente não n

Passo 1 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Este é um exercício adicional avançado e temos várias tarefas, então se prepare! Neste capítulo 13, você estudou como calcular funções vetoriais para descrever trajetórias e movimentos de objetos em um plano ou no espaço, considerando a velocidade e aceleração vetorial.

Passo 2 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observe que a partícula P inicia o movimento no instante t igual a zero. Nosso objetivo nesta atividade é expressar a (a) velocidade angular, (b) as coordenadas em z e (c) a aceleração em função de t. Note que devemos fazer a primeira e segunda derivada para encontrar os vetores que descrevem a partícula P.

Passo 3 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos ao passo a passo!

Passo 4 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Para começar vamos encontrar a velocidade angular quando .

Escrevendo a equação diferencial descobrimos que:

Passo 5 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Já sabemos que a velocidade da partícula após a queda é descrita por, então devemos calcular o módulo da velocidade:

Passo 6 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora vamos resolver a equação:

Passo 7 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Por fim vamos calcular a velocidade angular em .

Passo 8 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Agora vamos expressar as coordenadas e z em função de t. Conhecemos a equação do ângulo descrito em função do tempo no item (a), então:

Passo 9 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Devemos assumir um e para encontrar a constante C, logo . Portanto encontramos para o ângulo:

Passo 10 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Uma vez que sabemos que , então podemos encontrar a coordenada z:

Passo 11 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 12 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Passo 13 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nossa última tarefa será expressar as componentes tangencial e normal da velocidade e da aceleração com os resultados calculados no item (b). Encontrando a velocidade em função do tempo:

Agora vamos encontrar a aceleração em função do tempo:

Passo 14 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Conforme demonstrado no item (c), concluímos que não existe componente na direção de B.

Exercícios resolvidos no Capítulo 13

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.