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Cálculo - Vol. 2 - 12ª Edição

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 2 - 12ª Edição

Joel Hass, Maurice D Weir IBSN: 9788581430874

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios.

f(x, y) = x2 + xy +y2 + 3x − 3y + 4

Passo 1 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Veja a seguinte equação:

Com base nisso, neste exercício você precisa encontrar os pontos de máximo, mínimo e pontos de sela. Vamos lá?

Passo 2 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Veja que, uma vez que a função pode ser derivada em todos os pontos, os valores extremos ocorrem apenas quando:

ou

Portanto:

e

Passo 3 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Desse modo, se você isolar y na equação , vai obter:

Passo 4 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, substituindo o valor de y na equação , teremos:

Passo 5 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, usaremos o valor encontrado de volta na equação , obtendo:

Portanto, o ponto é o único ponto em que a função pode assumir um valor extremo.

Passo 6 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observe que, para avaliar se o ponto realmente assume um valor extremo, devemos calcular as segundas derivadas parciais, como se segue:

Passo 7 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Desse modo, o discriminante de no ponto é:

Passo 8 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como podemos perceber, a combinação

e

nos mostra que, segundo o teorema 11, tem um ponto de minimo no ponto .

Então, o valor de neste ponto é