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Cálculo - Vol. 2 - 12ª Edição

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 2 - 12ª Edição

Joel Hass, Maurice D Weir IBSN: 9788581430874

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Monte de areia: integrais duplas e triplas A base de um monte de areia cobre a região no plano xy que é delimitada pela parábola x2 + y = 6 e a reta y = x. A altura da areia acima do ponto (x, y) é x2. Expresse o volume de areia como (a) uma integral dupla, (b) uma integral tripla. Em seguida, (c) encontre o volume.

Passo 1 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Iremos determinar o volume de uma pliha de areia que cobre a região do plano xy que é limitada pela curva e pela linha . A altura da pilha de areia acima de qualquer ponto do plano xy é dada por .

Passo 2 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Primeiro iremos determinar o ponto onde ocorre a interceptação da linha com a curva, temos que:

Combinando as duas expressões teremos:

Sendo assim, os interceptos ocorrem em e .

Passo 3 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a) Primeiro iremos expressar o volume através de uma integral dupla:

Passo 4 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b) Agora iremos expressar o volume através de uma integral tripla:

Passo 5 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c) E finalmente iremos determinar o volume:

Passo 6 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Integrando em y:

Passo 7 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora integrando em x:

Passo 8 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto o volume é .

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