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Cálculo - Vol. 2 - 7ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 2 - 7ª Ed. 2013

James StewartIBSN: 9788522112593

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Cada borda de uma caixa cúbica tem comprimento de 1 m. A caixa contém nove bolas esféricas com o mesmo raio r. O centro de uma esfera está no centro do cubo e ela toca as outras oito bolas. Cada uma das oito bolas toca 3 lados da caixa. As bolas estão firmemente alojadas na caixa. (Veja a figura.) Determine r.

Passo 1 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Considere duas esferas que tocam a mesma face e que estão situadas uma acima da outra. Neste caso, a distância entre os seus centros é:

Passo 2 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Considere agora uma terceira esfera que toca a mesma face. Podemos formar um triângulo retângulo e isósceles com os centros dessas três esferas. Neste caso, a hipotenusa é calculada da seguinte maneira:

Passo 3 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Trace agora, um segmento de reta partindo do centro do cubo que intercepta a hipotenusa calculada em sua metade, formando um ângulo reto. Esse segmento de reta terá o comprimento:

Passo 4 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Por fim formamos um novo triângulo retângulo, com metade da antiga hipotenusa sendo um dos catetos, e o segmento de tamanho “d” sendo outro cateto. Neste caso, a nova hipotenusa terá comprimento 2r. Aplicando o teorema de Pitágoras neste novo triângulo, temos:

Passo 5 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Simplificando a equação temos:

Passo 6 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A solução dessa equação de segundo grau fornece duas raízes.

Passo 7 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para que a solução expresse um comprimento, deve ser positiva. Portanto:

Passo 8 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Conclusão

O passo a passo dos exercícios mais difíceis

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