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Cálculo - Vol. 2 - 7ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 2 - 7ª Ed. 2013

James StewartIBSN: 9788522112593

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Verifique se o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F na região E.

F(x, y, z) = 3x i + xy j + 2xz k, E é o cubo limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1

Passo 1 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando o Teorema do divergente no vetor F:

A figura abaixo mostra a região E:

Captura de Tela 2016-01-20 a`s 18.34.04.png

Passo 2 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando a integração da Região E (integral volumétrica) no divergente de F:

Passo 3 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando os limites dos planos que definem a Região E na equação do divergente de F:

Passo 4 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para encontrar a integral em cada face do cubo, pela integral: , aplicando a integral da área na face DEFG, e :

Passo 5 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando a integral da área na face ABCD, :

Passo 6 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando a integral da área na face ABEF, , :

Passo 7 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando a integral da área na face OGDC, , :

Passo 8 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando a integral da área na face BCDE, , :

Passo 9 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando a integral da área na face AFGD, :

Passo 10 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando o somatório das integrais, resulta na soma:

Passo 11 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, como a integral volumétrica do divergente é igual a integral da , que prova o teorema da divergência.

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