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Cálculo - Vol. 2 - 7ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 2 - 7ª Ed. 2013

James Stewart IBSN: 9788522112593

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Mostre que y = xx−1 é uma solução da equação diferencial xy′ + y = 2x.

Passo 1 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Uma solução da equação diferencial

(1)

é simplesmente uma função diferenciável (ou derivável) em algum subconjunto aberto da reta dos números reais que satisfaça a equação, isto é, uma função diferenciável tal que . Note que a função é (infinitamente) diferenciável em . Basta agora verificarmos que esta função satisfaz a equação (1). Para isso, procedemos como segue.

Passo 2 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

Como na equação (1) só há derivada de primeira ordem, derivamos uma vez nossa candidata à solução.

Passo 3 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Substituímos as expressões de no primeiro membro da equação (1) e constatamos que a igualdade entre os membros da equação (1) de fato ocorre.

Passo 4 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Conclusão: é uma solução de , como queríamos mostrar.

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