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Cálculo - Vol. 2 - 7ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 2 - 7ª Ed. 2013

James StewartIBSN: 9788522112593

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Suponha que uma população se desenvolva de acordo com a equação logística

onde t é medido em semanas.

(a) Qual é a capacidade de suporte? Qual é o valor de k?


(b) Um campo de direções para essa equação é mostrado à direita. Onde as inclinações estão próximas de 0? Onde elas são maiores? Quais soluções são crescentes? Quais soluções são decrescentes?


(c) Use o campo de direções para esboçar as soluções para as populações iniciais de 20,40,60, 80, 120 e 140. O que essas soluções têm em comum? Como diferem? Quais soluções têm pontos de inflexão? Em qual nível populacional elas ocorrem?


(d) Quais são as soluções de equilíbrio? Como as outras soluções estão relacionadas a essas soluções?

Passo 1 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

A equação diferencial que mostra o desenvolvimento populacional é:

A medida de t é dada em semanas.

O objetivo é encontra a capacidade de suporte e o valor de k:

A capacidade de suporte é: k = 100 e k = 0,05 (= 5%)

Passo 2 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Crie o gráfico de campo de direção mostrado pelo problema. As linhas de comando do Maple são fornecidas abaixo:

dfieldplot(diff(y(t),t)=0,5e-1*y(t)-0,5-3* y(t)^2,y(t), t = 0 .. 60,y = 0 .. 150, title = ' Restricted domain' , color = 0.5e-1*y(t)-0.5e-3*y(t)^2)

>?dfieldplot

Passo 3 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Imagem 3

O objetivo é encontrar o ponto onde as inclinações estão próximas de zero.

Do gráfico de campo de direção, as inclinações das tangentes são horizontais em p=100.

Então em p=100 as inclinações do campo são O.

Depois, encontrar o ponto onde o campo possui a maior inclinação.

Olhando novamente o campo, as inclinações das tanges tem a maior inclinação no ponto p=50.

Passo 4 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então o campo tem a maior inclinação em p=50.

As populações estão aumentando para valor de p entre 0 e 100 e diminuindo para valores de p acime de 100.

(c)

Use o campo de direção para esboçar as condições iniciais das populações de 20, 40, 60, 80, 120 e 140.

O gráfico com estas condições será:

Imagem 6

Todas as soluções se aproximam de P=100 quando t aumenta. Como na letra (b), as soluções diferem. Como para 0<P0<100 elas estão aumentando, para P0>100 estão diminuindo. Alguns possuem um ponto de inflexão outros não, parece que a solução que cotem P0=20 e P0=40 tem pontos de inflexão em P0=50.

Passo 5 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

As soluções de equilíbrio são: P=0 (solução trivial) e P=100

As soluções crescentes se afastam a partir de P=0 e todas as soluções diferentes de zero se aproximam de P=100 quando t→∞.

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