Resolvido: Cálculo - Vol. 2 | Cap 15.8 Ex 1E
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Cálculo - Vol. 2

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 2

Jon Rogawski IBSN: 9788577802715

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolvermos este problema, vamos colocar em prática nosso conhecimento sobre os multiplicadores de Lagrange. Vamos lá?

Passo 2 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Vamos escrever as equações de Lagrange usando os gradientes da função f(x,y) e do vínculo g(x,y). Assim:

Passo 3 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Com isso, temos as equações de Lagrange:

Passo 4 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, provamos que e .

Passo 5 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Para resolvermos este item, vamos isolar x na equação (1):

Assim, para justificar a divisão.

Passo 6 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E agora, vamos isolar λ na equação (1) e substituir na equação (2). Veja:

Passo 7 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, provamos que e .

Passo 8 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Substituiremos y=2x na equação de restrição. Assim, teremos:

Passo 9 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo em y=2x os valores de x encontrados no passo anterior, chegamos a dois pontos críticos: (-1,-2) e (1,2)

Passo 10 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, são pontos críticos de f(x,y) sujeito a g(x,y).

Passo 11 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Vamos aplicar os pontos críticos que encontramos em f(x,y) para encontrar os valores críticos. Logo:

Passo 12 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dessa forma, os valores críticos da função são como valor mínimo e como valor máximo.

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