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Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 2

Jon RogawskiIBSN: 9788577802715

Elaborado por professores e especialistas

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Para resolvermos este problema, vamos colocar em prática nosso conhecimento sobre os multiplicadores de Lagrange. Vamos lá?

Passo 2 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Vamos escrever as equações de Lagrange usando os gradientes da função f(x,y) e do vínculo g(x,y). Assim:

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Com isso, temos as equações de Lagrange:

Passo 4 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, provamos que e .

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(b)

Para resolvermos este item, vamos isolar x na equação (1):

Assim, para justificar a divisão.

Passo 6 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E agora, vamos isolar λ na equação (1) e substituir na equação (2). Veja:

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Portanto, provamos que e .

Passo 8 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Substituiremos y=2x na equação de restrição. Assim, teremos:

Passo 9 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo em y=2x os valores de x encontrados no passo anterior, chegamos a dois pontos críticos: (-1,-2) e (1,2)

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Portanto, são pontos críticos de f(x,y) sujeito a g(x,y).

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(d)

Vamos aplicar os pontos críticos que encontramos em f(x,y) para encontrar os valores críticos. Logo:

Passo 12 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dessa forma, os valores críticos da função são como valor mínimo e como valor máximo.

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.