Resolvido: Cálculo - Vol. 2 | Cap 17.5 Ex 1E
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Cálculo - Vol. 2

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 2

Jon Rogawski IBSN: 9788577802715

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Precisamos calcular o vetor normal à superfície parametrizada fornecida e a componente do campo vetorial ao longo dessa normal. Para isso, calcularemos primeiro os vetores tangentes à superfície e realizaremos o produto vetorial com esses vetores. O resultado deste cálculo dará o vetor normal. A componente normal do campo será obtida tomando-se o produto escalar do campo com o vetor normal. Em seguida calcularemos a componente normal do campo no ponto fornecido e, por fim, a integral de superfície do campo.

Passo 2 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Começamos por calcular os vetores tangentes à superfície. Eles podem ser obtidos da seguinte maneira:

Passo 3 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora podemos obter o vetor normal à superfície com o seguinte produto vetorial:

Passo 4 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Em sequência, a componente normal do campo vetorial é dada por:

Passo 5 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, o vetor normal e a componente normal do campo vetorial são dados em termos dos parâmetros u e v da seguinte forma:

Passo 6 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Para obtermos a componente normal do campo no ponto especificado, podemos utilizar a expressão para a componente normal do campo obtida no item (a). Necessitamos, porém normalizar o vertor normal para que se torne unitário. Então temos:

Passo 7 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para o ponto P, obtemos:

Passo 8 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a componente do campo na direção normal à superfície no ponto P é:

Passo 9 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Por fim, vamos calcular a integral de superfície do campo vetorial. Como uma expressão para a componente normal do campo já foi obtida no item (a), podemos escrever:

Passo 10 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a integral de superfície é:

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