Resolvido: Cálculo - Vol. 2 | Cap 18.1 Ex 1E
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Cálculo - Vol. 2

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. 2

Jon Rogawski IBSN: 9788577802715

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício, vamos verificar a validade do Teorema de Green para a integral de linha onde é círculo unitário orientado no sentido anti-horário. Como vimos na teoria da seção 18.1, o teorema de Green nos diz que sendo um domínio cuja fronteira é uma curva fechada com orientação de fronteira, se e são diferenciáveis, e tem derivadas de primeira ordem e contínuas, então:

Vamos para a solução? Acompanhe!

Passo 2 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nosso passo inicial é efetuar o cálculo direto da integral de linha . Como é círculo unitário orientado no sentido anti-horário, temos que as coordenadas de cada ponto do círculo unitário obedecem as seguintes equações:

Passo 3 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, podemos escrever:

Passo 4 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, teremos que:

Passo 5 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicamos a técnica de integral substituição e vamos terminar o cálculo da integral acima, ou seja, fazemos . Além disso, se e , logo vamos obter que:

Passo 6 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora vamos determinar a integral de linha a partir do Teorema de Green. Mas antes precisamos determinar as derivadas parciais e , onde e . Logo:

e

Passo 7 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, teremos que:

Passo 8 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Pela simetria do domínio , que é delimitado por , podemos escrever:

Passo 9 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, nossa conclusão é que de fato o Teorema de Green é valido para a integral de linha onde é círculo unitário orientado no sentido anti-horário.

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