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Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Howard AntonIBSN: 9788582602256

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Na Seção 1.1, desenvolvemos o conceito de reta tangente a um gráfico num dado ponto considerando essa reta como a posição limite de retas secantes por esse ponto (Figura a). Nestes exercícios, desenvolveremos uma ideia análoga em que as retas secantes são substituídas por “círculos secantes” e a reta tangente é substituída por um “círculo tangente” (denominado círculo osculador). Começamos com o gráfico de y = x2.

Figura

Passo 1 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício, explicaremos porque em um “círculo tangente”, o centro deste círculo, se encontra na interseção do eixo y com a reta bissetora perpendicular ao segmento OP. Para explicar isto, considere os pontos da figura dada neste exercício e imagine um triângulo para ajudar na explicação.

Passo 2 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Seja um ponto arbitrário na curva, seja sua reflexão através do eixo , seja a origem.

Passo 3 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como você observou, na mediatriz da linha que liga com se encontra o eixo no ponto , cuja ordenada ainda é desconhecida. Um segmento da bissetriz é também a altura do triângulo . Repare que esse triângulo precisa ser isósceles, assim .

Passo 4 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Usando o ponto simetricamente oposto a no segundo quadrante, vemos que também e, portanto, é equidistante dos três pontos , , . Dessa forma, é também o centro do círculo único que passa pelos três pontos.

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