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Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Howard AntonIBSN: 9788582602256

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Em cada um destes exercícios, faça hipóteses razoáveis sobre o gráfico da função indicada fora da região esboçada.

Para a função cujo gráfico está na figura abaixo, encontre

(a)


(b)


(c)


(d) g(0)

Figura

Passo 1 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A primeira seção do capítulo traz as idéias informais básicas sobre uma das principais bases do cálculo diferencial e integral: o de limite de uma função. Nosso objetivo aqui, portanto, é observar o comportamento de uma função. Vamos lá? Acompanhe!

Passo 2 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Veja que ao observarmos o comportamento de uma função, podemos dizer se ela tende a um valor fixo definido, ao infinito, ou mesmo se ela não tende a nenhum valor.

Passo 3 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Repare que essa avaliação pode ser feita por meio de três formas: analisando o gráfico da função; algebricamente, ao calcularmos o limite propriamente dito; ou por aproximação. Este último, atribuindo valores bem próximos do ponto em questão.

Passo 4 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Repare que no caso da aproximação, há a necessidade de calcular os limites laterais pela esquerda (com valores de x menores do que o do ponto, mas suficientemente próximos) e pela direita (com os valores de x maiores que o ponto). Veja que, para que o limite da função exista, os limites laterais devem ser iguais a um mesmo valor, caso contrário, não há limite para a função no ponto, o que não impede de existir o limite para outros pontos.

Passo 5 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, como não temos a descrição da função, para calcular os limites pedidos, iremos apenas analisar o comportamento e a tendência dos valores pelo gráfico.

Passo 6 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Deduz-se inicialmente, que este gráfico deve ser de uma função do 4º grau, por possuir 4 raízes reais. Por este motivo deve ser apenas crescente enquanto x tende a e a . Observe:

Imagem 7

Passo 7 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 8 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a) Neste item, devemos calcular o limite da função g(x), quando x se aproxima de 0 pela esquerda. Acompanhe:

Imagem 1

Aqui, perceba que, conforme o valor de x se aproxima de 0, o valor de g(x) se aproxima de 3, logo:

.

Passo 9 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b) Para descobrirmos o limite lateral da função, quando x tende a 0 pela direita, vamos observar a qual valor g(x) se aproxima enquanto x se aproxima por valores maiores que 0. Continue acompanhando!

Imagem 2

Passo 10 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Repare bem que, quanto mais próximo x está de 0, mais próximo g(x) está de 3.

Passo 11 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c) Como não podemos calcular algebricamente, o limite da função g(x) no ponto depende dos valores dos limites laterais. Se os limites fossem diferentes, diríamos que a função não possui limite para x = 3, mas neste caso os limites laterais são iguais e com isso:

Então:

Passo 12 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 13 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

d) Para descobrir g(0), devemos observar no gráfico, qual o valor de g(x) quando x é exatamente 0. Em muitos casos, o limite da função é igual ao valor dela naquele ponto, como foi o caso deste exercício, em que os limites laterais, limite no ponto e valor da função em x = 0 são iguais a 3. Agora, como vimos nos exemplos do livro, nem sempre isto acontece. Então, fique atento!

g(0) = 3.

Passo 14 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos, assim, a resolução do nosso exercício.

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.