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Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014
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Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Howard AntonIBSN: 9788582602256

Elaborado por professores e especialistas

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  • +5.135

Exercício

Suponha que f seja uma função com as propriedades seguintes: (i) f é derivável em toda parte, (ii) f(x + y) = f(x)f(y) com quaisquer valores de x e y, (iii) f(0) ≠ 0 e (iv) f′(0) = 1.

(a) Mostre que f(0) = 1. [Sugestão: Considere f(0 + 0).]


(b) Mostre que f(x) > 0 com quaisquer valores de x. [Sugestão: Considerando f(xx), mostre, inicialmente, que f(x) ≠ 0.]


(c) Usando a definição de derivada mostre que f′(x) = f(x), com quaisquer valores de x.

Passo 1 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício, vamos resolver algumas situações envolvendo funções. Para resolver (a), você precisa utilizar a propriedade (ii) para mostrar que . Em (b), vamos mostrar por exclusão o pedido, analisando as consequências se a função for igual a zero. Em (c), você precisa aplicar a definição de derivada (como sendo um limite).

Passo 2 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Então, pela propriedade (ii), observamos que:

Passo 3 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Desta forma ou .

E, como diz o enunciado, que, pela propriedade (iii),, temos então:

.

Passo 4 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, esta é a resposta: provamos que .

Passo 5 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Agora, vamos utilizar a propriedade (ii):

Passo 6 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, se :

O que leva a uma inconsistência. Logo .

Passo 7 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Resposta: desta forma mostramos que .

Passo 8 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Agora, você precisa aplicar a definição de derivada para esta função e utilizar as propriedades dadas, para ter que:

Passo 9 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Desta forma provamos o que foi pedido nesta parte.

Exercícios resolvidos no Capítulo 2

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.