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Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Howard Anton IBSN: 9788582602256

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Nestes exercícios, exploramos uma aplicação de funções exponenciais ao decaimento radioativo e consideramos outra abordagem ao cálculo da derivada da função exponencial natural.

Consideremos um modelo de decaimento radioativo simples, no qual supomos que, dada qualquer quantidade de certo material radioativo, a fração dessa quantidade que decai ao longo de um intervalo de tempo é uma constante que depende somente do material utilizado e do comprimento do intervalo de tempo. Escolhemos um parâmetro temporal −∞<t<+∞ e denotamos por A = A(t) a quantidade do material radioativo que permanece no instante t do tempo. Também escolhemos unidades de medida tais que a quantidade inicial do material é A(0) = 1 e tomamos b = A(1) como a quantidade do material no instante t = 1. Prove que a função A(t) tem as propriedades seguintes.

(a)  [Sugestão: Com t > 0, podemos interpretar A(t) como a fração da quantidade do material radioativo que permanece depois de um intervalo de tempo de com-primento t.]


(b) A(s + t) = A(s) · A(t) [Sugestão: Inicialmente, considere s e t positivos. Para os outros casos, use a propriedade na parte (a).]


(c) Se n for qualquer inteiro não nulo, então


(d) Se m e n forem inteiros com n ≠ 0, então


(e) Supondo que A(

Passo 1 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Este exercício é complexo, por isso você deverá colocar em prática seus conhecimentos avançados de cálculo. Faremos uma análise da função e utilizaremos as sugestões para solução. Abriremos a função dada para e , separadamente. Acompanhe!

Passo 2 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Como você já deve ter observado, se , então, é a quantidade K que existia a t unidades de tempo atrás. Para que haja unidade, então:

Assim:

Mas, como dito acima, .

Dessa forma, concluímos que .

Passo 3 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Agora, se s e t são positivos, então, a quantidade torna-se após s segundos. Então, após outros t segundos, temos , isto é, torna-se após segundos. Mas essa quantidade também corresponderá a . Assim, .

Agora, se , então:

Passo 4 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dessa forma, no primeiro caso, teremos que:

E, se , então, teremos:

pelo caso anterior.

Passo 5 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Finalmente, se s e t são ambos negativos, então, pelo primeiro caso, teremos:

Portanto, concluímos o que foi pedido neste item.

Passo 6 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Se , então:

Assim:

da parte (b).

Passo 7 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, se , então, pelo item (a), teremos:

Portanto, concluímos o que foi pedido neste item.

Passo 8 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Sejam m, n inteiros. Se assumirmos que e , então, podemos escrever a equação do item (c) da seguinte maneira:

Passo 9 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(e)

Passo 10 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Se f e g são funções contínuas de t, e f e g são iguais no número racional , então para todo t.

Devido ao fato de x ser irracional, então, seja uma sequência de números racionais que convergem para x. Dessa forma, para todo , teremos . Isso nos levará a:

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