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Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Howard AntonIBSN: 9788582602256

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

(a) Encontre dy/dx por derivação implícita.


(b) Resolva a equação para y como uma função de x e obtenha dy/dx dessa equação.


(c) Confirme que os dois resultados são consistentes expressando a derivada de (a) como uma função somente de x.

x + xy − 2x3 = 2

Passo 1 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Este exercício consiste em utilizarmos a derivação implícita para calcular , resolver a equação para y como uma função de x, e confirmarmos se os dois resultados são consistentes, expressando a derivada de (a) como somente uma função somente de x. Vamos lá!

Passo 2 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para

Passo 3 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

Diferenciando ambos os lados da equação dada implicitamente, teremos:

Passo 4 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Reescrevendo a equação em função de y, temos:

Passo 5 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Usando a derivada da divisão, todo o número é considerado uma função . Assim a função a ser derivada é:

Passo 6 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Segundo a regra da derivada da divisão , temos:

Passo 7 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Lembrando que , teremos:

Dividindo tudo por x:

Passo 8 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A última divisão no termo y pode causar alguma confusão, mas devemos lembrar que y é uma divisão por x, que de certa forma estava escondida, porque a derivada possui x² no denominador, para visualizar melhor pense em x² como sendo x*x.

Passo 9 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c)

Para confirmar se os resultados são consistentes, temos:

Passo 10 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo y, teremos:

Multiplicando por x todos os termos, temos novamente:

Exercícios resolvidos no Capítulo 3.1

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.