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Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Howard AntonIBSN: 9788582602256

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Seja f(x) = x5 + x3 + x.

(a) Mostre que f é injetora e confirme que f(1) = 3.


(b) Encontre (f–1)′(3).

Passo 1 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Preste atenção neste exercício! O objetivo é mostrar se a função é injetora e partir dela obter a derivada de sua inversa. Em frente!

Passo 2 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste caso, com, para saber se a função é injetora:

Passo 3 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, observe:

.

Assim, como e , para todo , temos:

(crescente).

Passo 4 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Pelo Teorema (3.3.1), podemos concluir que é injetora. Além disso,

Passo 5 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Agora, vamos aos cálculos para encontrar a derivada da função inversa:

Passo 6 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Desta forma, se, então, e derivando ambos os lados:

Assim, temos:

.

Passo 7 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos isolar e o resultado será:

.

Passo 8 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Não sabemos resolver, para em termos de , deixamos a expressão na equação anterior em termos de :

.

Passo 9 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, queremos saber o valor de em, o que pode ser obtido resolvendo a função em. Assim, temos que:

Logo:

Passo 10 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, temos que:

.

Passo 11 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Desta forma, temos:

.

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