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Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Howard AntonIBSN: 9788582602256

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Suponha que g(x) seja uma função definida e diferenciável em cada x real e que g(x) tenha as seguintes propriedades:

(i)

(ii) g(4) = 3 e g′(4) = 3

(iii) g(x) é côncava para cima em x<4 e côncava para baixo em x > 4.

(iv) g(x) ≥ −10 para todo x.

Usando essas propriedades, responda às questões seguintes:

(a) g tem quantos zeros?

(b) g′ tem quantos zeros?

(c) Exatamente um dos limites é possível:

Identifique qual desses resultados é possível e faça um esboço aproximado do gráfico de uma tal função g(x). Explique por que os dois outros resultados são impossíveis.

Passo 1 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Conforme estudamos neste capítulo, segundo o teorema 4.1.4, sabemos que:

Se ,f’ côncava para cima ;

Se ,f’ côncava para baixo

Passo 2 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Além disso, vimos que a definição 4.1.5 afirma que um ponto de inflexão é aquele no qual a função muda de concavidade.

Passo 3 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Lembre-se que a inclinação da reta tangente num ponto corresponde a derivada da função nesse ponto.

Passo 4 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nesse item, vamos encontrar as raízes da função.

Os zeros da função correspondem aos pontos nos quais a função corta o eixo x. Se tem a função explicita em termos de x, a única forma de saber se existem ou não zeros da função é usando as retas tangentes da função.

Nas propriedades descritas no enunciado, tem-se dois pontos x=0 e x=4.

Para x=0, temos:

A tangente nesse ponto esta dada por

E, para x=4, temos:

A tangente nesse ponto está dada por

Passo 5 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, de acordo com o enunciado, para x<4 a função é côncava para cima. Por isto deve existir um ponto no qual as duas retas se cortem dentro do intervalo [0,4]

Então para encontrar o ponto no qual se cortam as duas tangentes:

Logo, o ponto no qual as duas tangentes se cortam é no ponto (3,0)

Passo 6 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, por ser a função côncava para cima para x<4 se cumpre que no intervalo (0,3)

, a função está por cima da tangente.

Se cumpre, também, que no intervalo (3,4)

, a função esta por cima da tangente.

Para o intervalo x>4

Só poderá existir uma raiz, no ponto no qual a derivada for negativa e a função ficasse por baixo da tangente. Se isto se cumprisse, a função cortaria a reta y=-10, o qual contradiz a característica (iv) da função.

Passo 7 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

De acordo com isto, a função não corta o eixo x, o que significa que não tem zeros.

Passo 8 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para responder essa pergunta vamos usar o resultado o item anterior.

Segundo o raciocínio para x<0, a função sempre aumenta, logo não existe ponto algum no qual exista um ponto critico da função, logo a derivada não tem zeros.

Para x>4 se cumpre a mesma coisa, a função não tem nenhum ponto critico, logo a derivada não tem zeros.

Para o intervalo (0,4), note que por ser a função côncava para cima, as derivadas mudaram de signo, o valor da derivada em x=0 é negativa e já em x=4 é positiva, essa mudança de signo mostra que existe um mínimo relativo, o que significa que a derivada tem um zero no intervalo (0,4)

Passo 9 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Para x> 4, g(x) é côncava para baixo e (4) = 3. Isso implica que o valor da derivada vai ser menor a 3, logo o limite:

Não pode ser possível.

Para que a derivada seja negativa se deve cumprir que a função corte a reta y=-10 (foi analisado no item a), logo o limite:

Não pode ser possível.

Então o único limite possível será .

Passo 10 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para esboçar o gráfico da função, deve-se levar em conta as tangentes, o ponto de inflexão existente em x=4, as concavidades e os valores dados para x=0 e para x=4.

Imagem 1

Exercícios resolvidos no Capítulo 4

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.