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Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Howard Anton IBSN: 9788582602256

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Verifique se as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema.

f(x) = x2 − 8x + 15; [3, 5]

Passo 1 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício, o nosso desafio é verificar se o Teorema de Rolle é satisfeito no intervalo dado, e encontrarmos o valor c nesses intervalos satisfeitos.

Passo 2 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver este problema vamos fornecer mais uma dica: aplicaremos o teorema 5.7.1. O exemplo 1 pode ajudar você a entender como resolver este exercício. Logo:

Passo 3 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 4 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, como pede o enunciado, neste exercício vamos aplicar o Teorema de Rolle. Este teorema serve para avaliarmos se há algum ponto onde a reta tangente é horizontal em um intervalo em que o eixo x é cruzado.

Passo 5 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, ao aplicarmos os pontos extremos do intervalo na função, vamos encontrar que:

Passo 6 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, temos também que:

Ou seja, temos que o Teorema de Rolle é satisfeito.

Passo 7 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora que sabemos que o teorema é satisfeito, vamos derivar a função f, e, igualar a zero, para encontrarmos este valor c, onde a derivada é nula (ponto onde a reta tangente é horizontal):

Passo 8 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, esta é a nossa resposta:

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