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Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Howard AntonIBSN: 9788582602256

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Considere a soma de Riemann

da integral de f(x) = 2x num intervalo [a, b].

(a) Mostre que se for o ponto médio do k-ésimo subintervalo, então a soma de Riemann é telescópica. (Veja os Exercícios 57 a 60 da Seção 5.4 para outros exemplos de somas telescópicas.)

(b) Use a parte (a), a Definição 5.5.1 e o Teorema 5.5.2 para calcular a integral definida de f(x) = 2x em [a, b].

Definição 5.5.1

DEFINIÇÃO Dizemos que uma função f é integrável em um intervalo fechado finito [a, b] se o limite

existir e não depender da escolha das partições ou da escolha dos pontos x*k nos subintervalos. Nesse caso, denotamos o limite pelo símbolo

que é denominado integral definida de f de a até b. Os números a e b são denominados limite de integração inferior e limite de integração superior, respectivamente, e f(x) é denominado

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como você aprendeu, uma soma é telescópica quando vários dos termos se cancelam entre si e só ficam o primeiro e o último termo da somatória.

Estudamos, pela definição 5.5.1, que uma função é integrável no intervalo se o limite existe e não depende das partições nem do que seja escolhido no subintervalo.

Logo, se cumpre que

Você também estudou, pelo teorema 5.5.2, que, se é contínua em , a área sob dentro do intervalo é área líquida e é calculada como .

Agora, vamos nos basear nesses conceitos para resolver esta questão. Acompanhe!

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Seja a soma de Riemann

Seja no intervalo

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nesse item, devemos demonstrar que essa somatória é telescópica.Sabemos que, quando a aproximação é feita pelo ponto meio:

Substituindo na somatória, teremos:

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Também sabemos que

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Seja e o interval .

Como você sabe, pelo teorema 5.5.2, é integrável em .

E, sabe também que, pela definição 5.5.1 e o resultado obtido em (a):

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Mas você também sabe que, como limite depende de :

Então, se cumpre que:

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