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Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Howard Anton IBSN: 9788582602256

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Suponha que f seja uma função não negativa definida em [0, 1] tal que a área da região entre o gráfico de f e o intervalo [0, 1] seja A1 e tal que a área da região R entre o gráfico de g(x) = f(x2) e o intervalo [0, 1] seja A2. Em cada parte, expresse sua resposta em termos de A1 e A2.

(a) Qual é o volume do sólido de revolução gerado girando R em torno do eixo y?


(b) Encontre um valor de a tal que, se o plano xy fosse horizontal, a região R estaria equilibrada na reta x = a.

Passo 1 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício, vamos revisar nossos conhecimentos adquiridos em todo capítulo 6.

Na primeira parte, você vai usar a equação (2), da seção 6.3. Em seguida, na parte (b), aplique o teorema de Pappus.

Vamos lá!

Passo 2 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)Primeiramente, vamos usar a fórmula (2) da seção 6.3 para encontrar o volume:

Passo 3 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Depois, para resolver essa integral, aplicaremos uma substituição u:

A integral, então, resultará em:

Logo, a resposta para o item (a) da questão é .

Passo 4 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)Agora, aplicando o teorema de Pappus, concluímos que o volume equivale a:

com , que equivale à coordenada x do centroide da região R.

Logo, temos que a equivale a:

Assim, a resposta para o item (b) da questão é .