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Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Exercícios resolvidos: Cálculo - Vol. I - 10ª Ed. 2014

Howard AntonIBSN: 9788582602256

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Lembre, do Teorema 3.3.1 e da discussão que o precede, que, se f '(x) > 0, então a função f é crescente e tem uma inversa. O propósito das partes (a), (b) e (c) deste problema é mostrar que, se essa condição estiver satisfeita e se f ' for contínua, então a integral definida de f −1 pode ser expressa em termos de uma integral definida de f.

(a) Use a integração por partes para mostrar que


(b) Use o resultado de (a) para mostrar que, se y = f(x), então


(c) Mostre que, se fizermos α = f(a) e β = f(b), então o resultado de (b) poderá ser escrito como

3.3.1 TEOREMA

Suponha que o domínio de uma função f seja um intervalo aberto no qual f '(x) > 0 ou no qual f '(x)<0. Então, f é injetora, f −1(x)é diferenciável em cada valor x da imagem de f e a derivada de f −1(x)é dada pela Fórmula (2).

Passo 1 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Este exercício é uma continuação do teorema 3.3.1 . Neste exercício, faremos:

a. Usaremos a integração por partes para demonstrar que

b. Com o resultado encontrado em (a), mostraremos também que

, e

c. Mostraremos que o resultado também pode reescrito como

Passo 2 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Usaremos a teoria de integração por partes da seção 7.2 para resolvermos este exercício.

Passo 3 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Primeiramente, vamos aplicar:

Passo 4 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

Para demonstrar que , aplicaremos as seguintes igualdades:

Passo 5 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A integral pode, então, ser resolvida por partes da seguinte maneira:

Passo 6 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Demonstramos, assim, o que o enunciado pediu.

Passo 7 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Agora, para demonstrar que usaremos as seguinte substituição para encontrar o termo :

Passo 8 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Quando , teremos . Para teremos que .

Passo 9 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A integral se torna, então:

Passo 10 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim , a integral:

Se torna:

Passo 11 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como o exercício pediu para ser demonstrado.

Passo 12 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c)

Observamos, a partir das integrais dos itens (a) e (b), que:

Então, temos que . E a integral possui as seguintes equivalências:

Passo 13 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, do item (b), usaremos que:

Passo 14 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a resposta será .

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.