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Cálculo-Volume 1

Exercícios resolvidos: Cálculo-Volume 1

Howard AntonIBSN: 9788560031634

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [a, b]. Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f(x) = x2. Se seu recurso computacional efetuar somatórios automaticamente, estime a área especificada usando n = 10, 50 e 100 retângulos. Caso contrário, estime a área usando n = 2, 5 e 10 retângulos.

Passo 1 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Conforme você estudou no capítulo 6, seção 1, vamos aplicar o método dos retângulos com n retângulos (n subintervalos iguais) ao gráfico de acima do intervalo [0,1]. Desta forma, vamos dividir o intervalo [0,1] em n subintervalos, cada um deles com comprimento 1/n. Teremos os seguintes pontos, nos quais iremos calcular os valores de f:

Passo 2 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Queremos construir retângulos acima de cada subintervalos de modo que a base de cada retângulo tenha comprimento 1/n e a altura tenha comprimento.

Então vamos calcular os valores dos comprimentos através dos extremos direitos, conforme a seguir:

Passo 3 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a área para n subdivisões do intervalo [a,b] será igual a:

Escolhendo por exemplo n=2: precisamos calcular:

Para realizar a estimativa, vamos calcular a área total para e considerar a medida da base igual a , conforme a seguir:

Desta forma temos a estimativa da área igual a 0,85355.

Passo 4 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Com o software Maple, podemos subdividir [0,1] em um número maior de retângulos, facilitando a observação de que, quando aumenta-se n, a área se aproxima da área real sob o gráfico de f :

Para n=10 teremos a área igual a 0,668383, conforme ilustrado na figura abaixo:

Picture 1

Passo 5 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para n=50 teremos a área igual a 0,666612, conforme ilustrado na figura abaixo:

Picture 7

Passo 6 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para n=100 teremos a área igual a 0,666647, conforme ilustra a figura abaixo.

Passo 7 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

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Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.