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Cálculo-Volume 1

Exercícios resolvidos: Cálculo-Volume 1

Howard AntonIBSN: 9788560031634

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Use n = 10 subintervalos para aproximar a integral com a aproximação (a) pelo ponto médio e (b) trapezoidal e use 2n = 10 para aproximar a integral com a (c) regra de Simpson. Em cada caso, encontre o valor exato da integral e aproxime o erro absoluto. Expresse suas respostas com pelo menos quatro casas decimais.

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício usaremos subintervalos para aproximar a integral com a aproximação por (a) ponto médio, (b) trapezoidal, e, usando para aproximar com (c) pela regra de Simpson. Encontraremos o valor exato da integral e aproximaremos o erro absoluto também. Expressaremos com pelo menos 4 casas decimais.

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos ao passo a passo!

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nesse capítulo trataremos de modelamentos matemáticos para aproximação dos valores das integrais. Isso nos é útil em diversos casos, especialmente quando a integral não possui uma solução trivial. No caso da aplicação de softwares, quando a integral é divergente (será visto com mais detalhes na seção 8.8), muitos softwares CAS não calculam diretamente essas integrais. Para esses casos aplicamos softwares específicos, chamados às vezes de softwares para integração numérica, que aplicam essas aproximações.

O desenvolvimento manual dessas contas não é trivial, visto que elas dependem da quantidade de subdivisões que você deseja aplicar, que torna as contas longas. Por isso usaremos os softwares para o cálculo dessas integrações numéricas praticamente em todo este tópico.

Você mesmo pode desenvolver uma espécie de programa em Excel, e ir mudando a função para cada exercício. Sinta-se à vontade para escolher o programa que você se sentir mais confortável. Algumas calculadoras científicas também possuem essa função, caso você dispor desse equipamento.

Para a resolução dos exercícios da seção 8.7, usaremos basicamente dois sites que disponibilizam as funções de integração exata e integração numérica. São sites simples, e, facilmente você conseguirá utilizá-lo para chegar nos resultados esperados.

São eles:

Integração definida e indefinida:

http://www.integral-calculator.com/

Observação: a integração definida e indefinida direta pode não funcionar para muitas integrais dessa seção.

Integração numérica:

http://www.zweigmedia.com/RealWorld/integral/integral.html

Integração numérica com resposta passo-a-passo, para ponto médio, trapezoidal e Simpson, disponível em:

http://www.emathhelp.net/calculators/calculus-2/

Caso houver necessidade, há também uma ferramenta para derivação:

http://www.derivative-calculator.net/

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Note que a integral é uma integral simples, e seu valor exato pode ser calculado com o software de integração definida. Seu valor é:

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para a aproximação pelo ponto médio temos que

E o erro absoluto é:

Agora para a aproximação trapezoidal, descobrimos que:

E o erro absoluto é:

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Por fim para a aproximação por Simpson:

E o erro absoluto é:

.

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.