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Eletrodinâmica - 3ª Ed.

Exercícios resolvidos: Eletrodinâmica - 3ª Ed.

David GriffithsIBSN: 9788576058861

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Usando as definições nas equações 1.1 e 1.4, bem como os diagramas apropriados, mostre que os produtos escalar e vetorial são distributivos,

(a) quando os três vetores são coplanares;


(b) no caso geral.

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A fim de resolver esse exercício, vamos precisar de duas noções básicas em geometria analítica: o produto interno entre e o produto vetorial (ou externo) entre vetores no espaço euclidiano, que aqui denotaremos de .

Consideremos dois vetores . Então o produto interno entre eles consiste simplesmente no número real dado por:

Acima, e correspondem às intensidades de A e B, respectivamente, e o ângulo entre eles, como no diagrama abaixo:

Imagem 1

A figura foi gerada pela plataforma aberta online GeoGebra, bastando clicar no botão “vetor” e depois em dois pontos arbitrários no plano cartesiano para criar uma “seta” que liga os dois pontos. Similarmente, para o ângulo basta clicar em “ângulo” e escolher os pontos de início e final do arco. O link para tal plataforma é https://www.geogebra.org/graphing.

Continuando, definamos agora o produto vetorial entre A e B, que se trata do seguinte vetor:

Em que A, B e continuam tendo o mesmo significado do diagrama.

Passo 2 de 36keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Neste item, temos duas teses a demonstrar acerca de três vetores A, B e C, elementos do espaço . Tais teses se referem à distributividade dos produtos interno e vetorial respectivamente à adição, isto é:

Nossa única hipótese é: A, B e C são coplanares, isto é, pertencem a um mesmo plano, como na figura abaixo. Uma observação: necessitaremos de muitas figuras para uma boa visão geométrica do exercício. Todas elas foram geradas da mesma maneira na mesma plataforma cujo link se encontra no início desta resolução.

Imagem 6

Vamos chamar os ângulos entre A e B, A e C, e A e (B+C), respectivamente, de . Uma propriedade interessante que temos que ter em mente a respeito dos vetores se trata do fato de, apesar de serem grandezas que possuem intensidade, direção e sentido, não possuem uma localização exata no sentido de podermos movê-lo o quanto quisermos no plano (desde que não mudemos sua intensidade, direção e sentido), suas propriedades geométricas, como por exemplo ângulo com outros vetores, permanecem as mesmas. Isso nos dá uma grande liberdade para reorganizá-los de forma conveniente, a ponto de podermos derivar relações geométricas mais facilmente. Essa manipulação será a chave para a nossa demonstração.

Passo 3 de 36keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Tratemos, primeiramente, da tese (1). Nosso objeto de estudo é o produto interno entre os vetores A e (B+C), isto é, por definição:

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Pensemos no que significa geometricamente a grandeza . Ora, pela própria definição de cosseno, se estivermos trabalhando com um triângulo retângulo de hipotenusa , a quantidade em questão se trata da medida do cateto H, adjacente ao ângulo (estamos pensando em um triângulo retângulo arbitrário com um dos ângulos sendo e a hipotenusa sendo apenas para a visualização, não há relação ainda com as posições geométricas entre os vetores A, B e C) :

Imagem 9

De fato, direto da definição de cosseno para o ângulo :

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Com isso em mente, percebemos que um triângulo semelhante a esse aparece se reorganizarmos os vetores da seguinte maneira:

Imagem 7

Para utilizações futuras, chamemos essa figura de Figura 1.

A linha tracejada foi desenhada como auxiliar, realizando uma projeção ortogonal do vetor , de sorte que o triângulo é retângulo com hipotenusa e com um dos ângulos internos sendo . Logo, como o cateto adjacente é o segmento , segue que o comprimento desse é .

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Como esse fator é nosso objeto de estudo, afinal, basta multiplicarmos pelo módulo de A para obtermos o produto interno entre o último e (B+C), a estratégia para a demonstração é encontrar uma segunda expressão para o comprimento de tal segmento, porém em função dos comprimentos de B e C e dos ângulos e . Para tal, observemos uma segunda organização dos vetores A, B e C:

Imagem 8

Para uso futuro, chamemos essa figura de Figura 2.

Nela, a reta pontilhada vermelha é exatamente a mesma do diagrama anterior, a reta azul é uma auxiliar paralela à vermelha perpendicular ao vetor A, e demonstra uma projeção ortogonal do vetor B no vetor A, de sorte que o triângulo é retângulo e, portanto, o comprimento do segmento é , pela definição de cosseno juntamente ao fato de que a hipotenusa do triângulo em questão é a intensidade do vetor B.

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Mais ainda, uma reta auxiliar rosa foi desenhada paralelamente ao vetor A (portanto, perpendicular à reta vermelha) passando pelos pontos W e J, de sorte a formar um triângulo retângulo , cuja hipotenusa é o comprimento do vetor C e, como é paralelo a A, segue que o ângulo entre C e é . Pela definição de cosseno, podemos concluir que o comprimento de é simplesmente .

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Entretanto, notemos que J e Y pertencem à mesma reta, assim como G e W, isto é, há uma relação de paralelismo entre os segmentos e . Além disso, a reta em que está contido é paralela à reta em que está contido. Isso significa que o quadrilátero de vértices é um retângulo. Portanto, o comprimento de é igual ao comprimento de , ou seja, .

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Finalmente, como da figura podemos perceber que , concluímos que vale a igualdade:

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Temos, assim, duas igualdades para descrever o comprimento . Igualando-as, obtemos a expressão:

Multiplicando pela intensidade de A dos dois lados e usando a definição de produto interno:

Está provada a tese (1).

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O raciocínio na análise da tese (2) é muito similar. Basta observarmos novamente as figuras apresentadas e trabalharmos com senos ao invés de cossenos, afinal, nosso objeto de estudo ao tratarmos do produto vetorial é:

A notação se mantendo a mesma, e sendo um vetor unitário normal ao plano gerado por A e (B+C).

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Geometricamente, a grandeza , pela própria definição de seno, se estivermos trabalhando com um triângulo retângulo de hipotenusa , na medida do cateto Q, oposto ao ângulo (novamente, estamos pensando em um triângulo retângulo arbitrário com um dos ângulos sendo e a hipotenusa sendo apenas para a visualização, não há relação ainda com as posições geométricas entre os vetores A, B e C) :

Imagem 10

De fato, direto da definição de seno para o ângulo :

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Voltando à figura 1, podemos observar que tal grandeza aparece no triângulo , como já explicado anteriormente. Usando nele a definição de seno no ângulo e no cateto oposto a ele, o segmento , obtemos que seu comprimento é dado por .

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Observemos também, agora na figura 2, que , e para essas parcelas podemos encontrar expressões em termos de C, B, e .

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Ora, para o primeiro termo basta utilizarmos a definição de seno no triângulo retângulo , que nos diz que . Já para o segundo termo, usamos novamente a definição de seno, porém no triângulo retângulo , de sorte que . Entretanto, como o quadrilátero de vértices é um retângulo, segue que .

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Substituindo esses dois últimos resultados na expressão para o comprimento :

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Igualando as duas expressões encontradas para :

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Multiplicando dos dois lados pelo comprimento de A e depois multiplicando o escalar resultante pelo vetor , finalizamos a demonstração da tese (2), que mostra a distributividade do produto vetorial respectivamente a soma:

É interessante notar que não há contradição geométrica relativamente ao vetor , pois todos os vetores aqui trabalhados são coplanares, de sorte que se é normal a um deles, a saber ,A, será normal a todos eles.

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Portanto, concluímos que tanto o produto interno e o produto vetorial são distributivos com relação a soma para vetores coplanares, isto é, se pertencem a um mesmo plano, valem as igualdades e .

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(b)

Para provarmos as mesmas teses do item anterior para o caso tridimensional geral (isto é, sem considerar os vetores necessariamente coplanares), vamos escrever os vetores de utilizando coordenadas cartesianas, isto é, em termos da base canônica , em que , e , e utilizar as definições de produto interno e produto vetorial que nos foi fornecida para obtermos novas expressões para essas grandezas em termos das coordenadas na base recém-definida.

Relembrando, um vetor escrito como uma tripla de números reais significa que ele é dado pela seguinte combinação de elementos da base fixada, levando em conta as definições de soma vetorial e as regras para multiplicação por escalar:

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Vamos provar primeiro a distributividade do produto interno. Para tal, temos que reescrever a definição , , em termos das coordenadas dos vetores envolvidos. Observemos a seguinte figura:

Imagem 11

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Utilizando a regra dos cossenos, da trigonometria básica:

Pela disposição geométrica do vetor , ele é dado por , ou seja:

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Suponhamos que, na base canônica, as coordenadas de e sejam, respectivamente:

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Abrindo a lei dos cossenos obtida em termos das coordenadas:

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Ora, pela definição de produto interno, podemos concluir que, para quaisquer vetores , vale a seguinte igualdade:

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Se esse resultado foi obtido sem restrições, isto é, vale para todo vetor no espaço euclidiano, então podemos utilizá-lo para calcular o produto interno , :

Está provado o caso geral da distributividade do produto interno.

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Trabalhemos, agora, a tese que diz respeito à distributividade do produto vetorial. Sabemos que um vetor tem intensidade nula se, e somente se, ele for o vetor nulo. Mais ainda, podemos escrever o módulo de um vetor em termos de seu produto interno:

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Especificamente, queremos provar que, para quaisquer vetores , vale a seguinte igualdade:

Ou, escrito de outra maneira:

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Definindo um vetor , provar a nossa tese é o mesmo que provar que é o vetor nulo, ou seja, que . Vamos expandir, portanto, o produto interno de por ele mesmo:

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Pela propriedade distributiva do produto interno:

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Nesse ponto, necessitamos meditar um pouco a respeito do significado geométrico de objetos no estilo , . Observemos o diagrama abaixo, em que representamos os três vetores como linearmente independentes:

Imagem 3

A figura acima (meramente ilustrativa) foi gerada pela plataforma online aberta GeoGebra, cujo link é https://www.geogebra.org/3d .

Nela, . Como fato bem conhecido, o módulo do produto vetorial acima significa a área da base do paralelepípedo, ou seja, a área do paralelogramo ABCD. Mais ainda, usando a definição de cosseno no triângulo retângulo , a altura do paralelepípedo em questão será o comprimento do cateto , ou seja, o módulo do vetor multiplicado pelo cosseno do ângulo . Como o volume V do paralelepípedo consiste na área de sua base multiplicada pela altura, segue da definição de produto interno:

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Portanto, consiste no volume de um paralelepípedo cujas arestas são baseadas na disposição geométrica dos vetores envolvidos, supostos linearmente independentes. Uma vez estabelecidos os vetores, o volume é constante, e como estamos lidando com um paralelepípedo, não importa qual face escolhemos para base e, consequentemente, a aresta para altura. Em termos do produto interno que estamos estudando, isso significa que:

Escrevemos essa igualdade com módulos e o volume encontrado não porque, na figura, dada a disposição geométrica dos vetores, estamos assumindo que o ângulo é agudo. Caso não o seja, o produto interno é negativo, apesar do módulo permanecer o mesmo. Esse ângulo, portanto, comanda o sinal do produto interno e, consequentemente, a conveniência da ordem dos vetores nele presentes.

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Agora, o que comanda a medida do ângulo em discussão é a ordem com que o produto vetorial é feito, e podemos com um pouquinho de visão geométrica determinar o sinal de seu cosseno por uso puro e simples da regra da mão direita. Em particular, vamos, em nosso paralelepípedo, tomar como base a face ABFE. Então, o volume nesse caso será dado por:

Como saber qual dos produtos internos é positivo e qual é negativo? Bem, o ângulo que comandará o sinal, nesse caso, é o formado pelo produto vetorial presente e . Segundo a regra da mão direita, se calcularmos o produto vetorial como à direita na igualdade, teremos como resultado um vetor apontando para “fora” do paralelepípedo e, consequentemente, formando um ângulo obtuso (cosseno negativo) com . Segundo a mesma regra, calculando como à esquerda leva a um vetor apontando para “dentro” do paralelepípedo, ou seja, com um ângulo agudo (cosseno positivo) relativamente a . Essa observação permite a seguinte conclusão:

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Analogamente, realizando um estudo empírico com a regra da mão direita nos vetores em questão quando usamos a face ADHE como base, chegamos à conclusão de que . Como já sabemos que e o volume se mantém constante, temos em mãos a seguinte igualdade:

Ela será a chave para a continuação de nossa demonstração.

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Voltando à análise do produto interno de com ele mesmo, vamos utilizar abaixo a propriedade de comutação recém encontrada juntamente à propriedade distributiva do produto interno:

Ou seja:

Assim, está demonstrada a distributividade do produto vetorial.

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Portanto, concluímos que tanto o produto interno e o produto vetorial satisfazem a propriedade distributiva com relação a soma de vetores, isto é, valem as igualdades e para quaisquer três vetores no espaço euclidiano tridimensional.

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.