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Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard Diprima IBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos resolver o problema de valor inicial e desenhar o gráfico para diversos valores de

. Vamos descrever as diferenças e semelhanças entre as soluções.

Passo 2 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Seja o Problema de valor inicial dado por:

a)

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Vamos separar as variáveis:

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Multiplicando por

Passo 5 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Integrando, encontramos:

Passo 6 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando exponencial aos membros da equação:

Passo 7 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Lembrando a condição inicial:

Passo 8 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Voltando na equação , teremos:

Passo 9 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto:

Passo 10 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos plotar algumas soluções variando a condição :

Imagem 1

As soluções convergem para a solução de equilíbrio .

Passo 11 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Vamos separar as variáveis:

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Multiplicando por

Passo 13 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Integrando, encontramos:

Passo 14 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando exponencial aos membros da equação:

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Lembre-se a condição inicial:

Passo 16 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Volte na equação :

Passo 17 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto:

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Vamos plotar algumas soluções variando a condição :

Imagem 1

As soluções tendem à solução de equilíbrio

Passo 19 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c)

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Vamos separar as variáveis:

Passo 21 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Multiplicando por

Passo 22 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Integrando, temos:

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Aplicando exponencial aos membros da equação:

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Lembrando a condição inicial:

Passo 25 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Voltando na equação ,temos:

Passo 26 de 26keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto:

Vamos plotar algumas soluções variando a condição :

Imagem 1

As soluções tendem à solução de equilíbrio